Sezione Aurea Φ

Storia di un numero e di un mistero che dura da tremila anni

“La geometria ha due grandi tesori uno è il teorema di Pitagora; l’altro la divisione di un segmento in media ed estrema ragione. Possiamo paragonare il primo ad una certa quantità d’oro, e definire il secondo una pietra preziosa.”

“Sono convinto che questa proporzione servì da idea al Creatore, quando Egli introdusse la generazione continua di forme simili da forme simili tra loro."

Keplero (1571-1630)

 

 

Nella vita di ogni giorno ci capita spesso di vedere oggetti di uso comune che ci affascinano per le loro proporzioni perché sembrano possedere un’armonia innata. Molte volte questi oggetti risalgono ad un’epoca non recente oppure la stupenda proporzione appartiene a forme naturali come la spirale di una conchiglia, la disposizione dei semi e dei petali dei fiori, la forma di una stella marina, la proporzione perfetta del corpo umano, e allora il nostro stupore e la nostra curiosità si fanno ancora più grandi.

 

Affinché un oggetto sia armonioso, ogni sua parte deve essere in relazione con le altre e con il tutto. Gli oggetti allora ci sembrano “belli” e noi reagiamo positivamente perché mettono in relazione il prodotto dell’uomo al mondo naturale.

 

Il rapporto più antico usato per proporzionare gli oggetti è la Sezione Aurea, indicata con la lettera greca Φ (Phi) = 1,618…, la incontriamo ovunque e contribuisce non solo alla bellezza di tutto ciò che ci circonda ma sopratutto al suo perfetto funzionare.

 

 

E questo numero Φ l'uomo lo ha inserito talvolta consapevolmente, talvolta probabilmente no in alcune delle sue opere più straordinarie, dal Partenone di Atene alla piramide di Cheope nella piana di Giza, tanto da diventare l’espressione matematica per eccellenza dell’armonia e della bellezza.

 

 

La sezione aurea è stata definita così solo nel 1800, durante il rinascimento un largo contributo alla sua conoscenza e divulgazione è stato dato dal matematico Luca Pacioli (1445-1514) con la pubblicazione del trattato "De Divina Proportione" illustrato con disegni di Leonardo da Vinci (1452-1519), ma la sua storia ha avuto origine nella Grecia classica attorno al VI secolo a.C ad opera della scuola pitagorica in una località dell’Italia meridionale dove oggi rimane in piedi soltanto una colonna dell'imponente tempio dedicato alla dea"Hera Lacinia".

 

 

 

 

Gli antichi greci usavano questa proporzione per ottenere un'immagine estetica inserendola in particolar modo nel rettangolo:

il rapporto fra il lato lungo a e il lato corto b deve essere uguale a Φ =1,618…:

a / b = Φ

 

 

Quando disegniamo dei poligoni regolari (triangolo equilatero, quadrato, pentagono) non vi sono ripensamenti perché i lati sono tutti uguali. Invece per un poligono non regolare (triangolo isoscele, rettangolo, trapezio) bisogna stabilire un rapporto fra larghezza e altezza e qui incominciano i dubbi o i ripensamenti per quanto riguarda l’estetica. E’ più estetico o armonico un rettangolo che si scosti poco dal quadrato oppure un rettangolo molto allungato? Ecco i due casi estremi:

 

 

Dopo 2600 anni da questa scelta si è voluto verificare se il senso estetico dell’uomo moderno corrisponda ancora ai vecchi canoni. In un esperimento statistico sono stati mostrati a più persone vari rettangoli con diversi rapporti, poi è stato chiesto di indicare quale rettangolo avesse destato in loro una maggior sensazione armonica. Ebbene, con questo esperimento, l’antico rapporto a / b = Φ = 1,618... è stato pienamente riconfermato.

 

Gli architetti dell'antica Grecia percepivano inconsciamente un’armonia in questo rapporto mentre i matematici oggi lo hanno scoperto non con un’indagine statistica ma tramite la matematica e la geometria. Infatti l’espressione algebrica a : b = c : d che tiene conto contemporaneamente del concetto di rapporto e di proporzione ha infinite soluzioni, ma ponendo c = (a + b) mettiamo in gioco solo due variabili e l’espressione algebrica ridotta ai minimi termini diventa:

 

a : b = (a + b) : a

che contiene contemporaneamente rapporto e proporzione e ha come unica soluzione Φ =1,618…

 

 

Se all’interno di un rettangolo aureo si disegna un quadrato con lato uguale al lato minore del rettangolo, il rettangolo differenza sarà anch’esso un rettangolo aureo. Dalla proprietà del rettangolo aureo di potersi "rigenerare" infinite volte, deriva la possibilità di creare al suo interno una successione infinita di quadrati sempre più piccoli con fattore Φ di rimpicciolimento. Dall'unione di un'infinità di quarti di circonferenza tracciati sui quadrati si forma una spirale infinita che converge verso un punto di fuga che non raggiungerà mai denominato "l'occhio di Dio".

 

Detta anche spirale di Fibonacci (1170 - 1250) a cui è strettamente legata, infatti se esaminiamo la famosa successione che porta il suo nome dove ogni termine si ottiene dalla somma dei due precedenti: (0+1=1),(1+1=2),(1+2=3),(2+3=5),(3+5=8)...

successione di Fibonacci     1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21 , 34 , 55 , 89 , 144 , …

notiamo che il rapporto tra un numero della serie e il precedente tende ad assumere il valore costante Φ = 1,618…:

 

1	1	2	3	5	8	13	21	34	55	89
1/1	1/1	2/1	3/2	5/3	8/5	13/8	21/13	34/21	55/34	89/55
1,000	1,000	2,000	1,500	1,666	1,600	1,625	1,615	1,619	1,617	1,618

 

Solo successivamente si scoprì come la serie numerica, nata con l'intento di trovare una legge che descrivesse la crescita di una popolazione di conigli, fosse intimamente legata alla sezione aurea.

 

a / b = Φ

 

La definizione di rapporto aureo ricorre abbastanza frequentemente in geometria, particolarmente nel pentagono che riproduce Φ cinque volte e nel pentagramma (stella a cinque punte) che riproduce Φ quindici volte, dove i pitagorici scorsero il rapporto fra la diagonale a e il lato b del pentagono e fra il lato della punta stellata a e il lato b del pentagono interno.

 

 

I pitagorici adottarono come loro simbolo la stella a cinque punte, ciò può spiegare come il rapporto aureo potesse apparire ai loro occhi tanto affascinante, pur ignorandone ancora gran parte delle proprietà matematiche, e giustificando in parte l’alone di mistero che lo ha avvolto dalla sua scoperta fino ai nostri giorni.

 

Nella sua costruzione il pentagramma racchiude significati quasi misteriosi, divini. Colpisce principalmente la sua proprietà di “rigenerare” la sezione aurea da cui è nata. Infatti, i lati della stella si intersecano sempre secondo la sezione aurea infinite volte.

 

 

All’interno di un pentagono, ogni lato forma con le due diagonali opposte un triangolo isoscele aureo i cui angoli alla base misurano 72° ciascuno, e l’angolo al vertice misura 36°. E’ possibile, bisecando uno dei due angoli di 72°, ricavare una successione infinita di triangoli aurei minori con gli stessi angoli del primo,  grazie ai quali viene generata, come nel caso del rettangolo aureo, una spirale formata da una successione di archi di 108° di ampiezza.

 

 

Gli architetti e gli artisti greci facevano grande uso dei rettangoli aurei per disegnare la pianta del pavimento e della facciata dei templi ma oltre che in geometria, la sezione aurea interviene in modo insistente anche in botanica, anatomia, fisica, architettura, astronomia, pittura e musica. Essa si incontra ovunque, in natura, come nella scienza e nell'arte, e contribuisce alla bellezza, all'armonia ed al funzionamento di tutto ciò che ci circonda.

 

 

La facciata del Partenone di Atene (420 a.C.): può essere interamente inquadrata in un ideale rettangolo aureo, come anche buona parte degli architrave, dei capitelli e dei fregi che sono a loro volta basati su proporzioni interne e distanze nello stesso rapporto.

 

a / b = Φ

 

La piramide di Cheope (2570 a.C.), nella piana di Giza in Egitto, è unica delle sette meraviglie ad essere giunta fino a noi intatta. Il rapporto aureo in questo caso è rilevabile fra l'altezza della facciata triangolare a e il semilato b della piramide.

 

 

Il portale di Castel del Monte, esempio di architettura gotica in Puglia (1240), ha dei punti salienti che coincidono con i vertici di un regolarissimo pentagono stellato che detta le proporzioni del portale stesso. Infatti si nota subito che le due punte in basso della stella cadono a livello delle basi delle colonne. Queste stesse colonne, salendo, si arrestano esattamente in coincidenza dei lati orizzontali del pentagono proprio dove inizia il capitello. La punta superiore della stella a sua volta va a coincidere con il vertice dei timpano che si apre lungo i due lati superiori del pentagono. Solo con le condizioni suddette è possibile tracciare un pentagono regolare perciò si può pensare che questo sia stato voluto. A confermare questa ipotesi concorrono molte altre combinazioni geometriche che fanno coincidere lo stipite e la cornice della porta con le intersezioni della stella pentagonale.

 

 

La sezione aurea, in quanto legge strutturale del corpo, ha conosciuto in Leonardo da Vinci (1452-1519) un geniale assertore.
Utilizzando la sezione aurea nei suoi dipinti Leonardo ha scoperto che, guardando le opere, si poteva creare un sentimento di ordine. In particolare ha incorporato il rapporto aureo in tre dei suoi capolavori: La Gioconda, L’ultima cena e L’uomo di Vitruvio.

Nella Gioconda il rapporto aureo è stato individuato:

nella disposizione del quadro

nelle dimensioni del viso

nell’area che va dal collo a sopra le mani

in quella che va dalla scollatura dell’abito fino a sotto le mani.

 

 

 

 

Ne L’Ultima cena, Gesù è dipinto con le proporzioni divine, ed è racchiuso in un rettangolo aureo.

 

 

 

 

 

Ne L’Uomo, Leonardo studia le proporzioni della sezione aurea secondo i dettami del De architectura di Vitruvio (80 a.C.–23 a.C.) che obbediscono ai rapporti del numero aureo. Leonardo stabilì che le proporzioni umane sono perfette quando l’ombelico divide l’uomo in modo aureo.

Scopriamo così nascosta nella figura umana la "quadratura del cerchio" un classico dei problemi di geometria ovvero l’impossibilità di costruire con riga e compasso un quadrato che abbia la stessa area di un dato cerchio, proprio perchè π greco è un numero trascendente e quindi non costruibile. Leonardo ha inscritto in un cerchio l'uomo con centro nell’ombelico e con le braccia alzate e le gambe divaricate. Se invece si inscrive in un quadrato l'uomo ritto e a braccia aperte scopriamo che l'area del cerchio si approssima a quella del quadrato!

Forse Leonardo ha voluto rappresentare in tutta la sua magnificenza la figura umana.

 

 

Se moltiplichiamo per Φ = 1,618… la distanza che in una persona adulta e proporzionata, va dai piedi all'ombelico, otteniamo la sua statura. (a / b = Φ)

E’ aureo anche il rapporto tra la lunghezza del braccio e l’avambraccio (a / b = Φ) o il rapporto tra la lunghezza della gamba e la distanza dai piedi al ginocchio (a / b = Φ) ed ancora il rapporto tra la distanza dai piedi all’ombelico e la distanza dall’ombelico alla testa (a / b = Φ)

La prova più evidente di come il rapporto aureo possa influenzare in modo notevole il nostro occhio è data dal volto umano. L'uomo ha acquisito nel corso del tempo un concetto di bellezza che si credeva fosse dovuto ad un puro istinto, ma se andiamo ad esaminare un volto che definiamo "bello" è facile scoprire come le distanze tra gli elementi che compongono il viso sono strettamente legati alla proporzione aurea.

 

Nella figura possiamo individuare numerosi rapporti aurei:

a / b = Φ rapporto tra l'altezza e larghezza del viso.
a / b = Φ rapporto tra la distanza che va dagli occhi al mento rispetto all’altezza della fronte.
a / b = Φ rapporto tra la distanza che va dagli occhi alla bocca rispetto alla distanza che va dalla bocca al mento.

Inoltre si possono scorgere una serie di rettangoli aurei minori che mettono in proporzione l’altezza e la larghezza del naso, degli occhi e della distanza tra loro.

 

 

 

 

Nei regni dalla vita domina sopratutto la spirale aurea che è presente nella forma di molte conchiglie. L’esempio più bello è il Nautilus un grosso mollusco dei mari tropicali, considerato un fossile vivente essendo la sua specie antichissima, la cui conchiglia ha la struttura di una perfetta spirale aurea che gli permette uno sviluppo armonico della sua forma in maniera ottimale e meno dispendioso possibile.

 

 

 

La disposizione dei petali e dei semi in alcuni tipi di fiori spesso presenta schemi riconducibili alla spirale aurea come nel caso del girasole dove stami e corolle si succedono secondo gli schemi di due spirali, una in un senso ed una in un altro. Lo stesso avviene per l’ananas o per le pigne.

 

 

 

 

 

 

 

La forma della stella marina richiama il pentagramma mentre i petali del fiore di geranio sono distribuiti ed uniti tra loro a formare un perfetto pentagono regolare, la figura geometrica madre della sezione aurea pitagorica.

 

 

Uno degli esempi più significativi di utilizzo della sezione aurea in natura è rappresentato dagli studi sulla disposizione geometrica delle foglie e dei rami detta profilassi. Osservando alcune piante si è scoperto che le foglie si dispongono sul fusto secondo una spirale vegetativa, in cui l'angolo tra due foglie successive è pressoché costante ed è di circa 137°. Tale angolo, detto aureo, (Φ in rapporto con l’angolo giro) garantisce alle foglie di ricevere la luce del sole senza coprirsi l’una con l’altra.

 

 

Analizzando il ritmo col quale spuntano i rami laterali di molti vegetali si è scoperto come questa crescita sia legata alla divina proporzione e rispetti perfettamente la successione di Fibonacci (1 2 3 5 8 13….)
Ogni ramo infatti impiega un mese prima di biforcarsi percui al primo mese abbiamo 1 ramo, al secondo ne abbiamo 2, al terzo 3, al quarto 5, al quinto 8, al sesto 13 e così via.

 

 

 

Negli ultimi anni è emerso come anche il Sistema Solare mostri caratteri riconducibili alla serie di Fibonacci. Si è osservato che tutti i pianeti interni distano dal Sole nelle proporzioni della successione (Mercurio 1, Venere 2, Terra 3, Marte 5) mentre quelli esterni disterebbero allo stesso modo rispetto a Giove: (Saturno 1, Urano 2, Nettuno 3, Plutone 5)

Anche grazie a questa coincidenza gli astronomi previdero l'esistenza di Nettuno.

 

 

Da osservazioni sperimentali si è riscontrato che molte Galassie presentano bracci luminosi di formazione stellare che si estendono dal centro seguendo il tracciato di due spirali auree, lo stesso avviene nella coda delle comete o nella formazione degli uragani.

 

 

Un’applicazione moderna dei numeri di Fibonacci si può riscontrare presso la borsa azionistica di Milano. Prendendo spunto dalla serie Ralph Elson Elliot elaborò una precisa teoria di previsione dei mercati finanziari con la quale in tempi recenti sono stati anticipati i più grandi rialzi e i più grandi crolli di borsa. Usando le onde di Elliot ed i numeri di Fibonacci, il docente universitario G. Migliorino ha previsto con incredibile precisione il punto minimo del drammatico ribasso dell’estate del 1998.

I numeri di Fibonacci sono utilizzati anche nel sistema informatico di molti computer. In particolare vi è un complesso meccanismo basato su tali numeri, detto "Fibonacci heap" che viene utilizzato nel processore Pentium della Intel per la risoluzione degli algoritmi.

 

 

 

Per quanto riguarda alcune forme di uso corrente, le carte di credito e in generale i tesserini plastificati in formato "badge" (86x54mm) sono ottime approssimazioni di rettangoli aurei. L'arrotondamento per difetto al millimetro pari è stato fissato per facilitarne la produzione standardizzata, sebbene la misura più perfetta sarebbe stata 87,37x54 oppure 86x53,15.

 

La sezione aurea è la dimostrazione meravigliosa del fatto che l’uomo creatore e la natura si servono degli stessi strumenti per creare le forme ed arrivare alla bellezza. Lo scienziato cerca la bellezza nella verità mentre l'artista cerca la verità nella bellezza, il primo ha il compito di spiegare le leggi della natura mentre il secondo prova a mostrarle.